Friday, January 25, 2013

Dinamika Gerak Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar


A.      Momentum Gaya dan Momentum Inersia
1.       Momen gaya
Benda akan mengalami perubahan gerak rotasinya jika ada momen gaya yang mempengaruhinya. Momentum gaya adalah ukuran kuantitatif dari kecenderungan gaya untuk memutar atau mengubah gerak rotasi benda. Momen gaya dipandang sebagai besaran yang mempunyai besar dan juga mempunyai arah. Jadi, momen gaya merupakan besaran vector.
Momen gaya secara matematis persamaannya dapat di tulis sebagai berikut.

 
Dengan :
              : momen gaya (Nm)
             : jarak sumber pusat terhadap garis kerja (m)
F              : gaya (N)
Catatan :
·         Momen gaya yang searah dengan jarum jam diberi tanda (+)
·         Momen gaya yang berlawanan arah dengan putaran jarum jam diberi tanda (-)

2.       Resultan momen gaya
Jika sebuah benda bekerja lebih daripada sebuah gaya, maka resultan momen gaya yang berkerja pada benda merupakan jumlah vector dari setiap gaya.

 




3.       Momen kopel
Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, dan berlawanan arah, seperti yang di tunjukkan pada gambar berikut.
Jika pada sebuah benda bekerja sebuah kope, maka benda akan melakukan gerak rotasi. Besarnya kopel dinyatakan dengan memon kopel.
Momen kopel (M)  adalah perkalian antara gaya  denga jarak antara dua gaya tersebut. Momen kopel sebagai besaran vector hanya mempunyai :
a.       Besaran = harga mutlaknya = nilai І M І = yang selalu bernilai positif, tidak ada yang negative
b.      Arahnya M tegak lurus d dan M tegak lurus F (sesuai aturan tangan kanan)

Jika  pada sebuah benda ada beberapa buah kopel sebidang, maka resultan momen kopelnya merupakan jumlah aljabar masing-masing momen kopelnya.
                                        Mresultan  = 
a.       Sifat-sifat momen kopel
Sebuah kopel dapat dipindahkan dari satu bidang (a) ke bidang lain(b) yang sejajar dengan bidang asalnya dengan besar dan arah putarannya tetap.
Resultan sebuah kopel M dengan sebuah gaya F yang sebidang hasilnya berupa sebuah gaya yang besar dan arahnya sama dengan gaya F semula, tetapi garis kerjanya bergeser sejauh  dari gaya awal. Perhatikan gambar berikut ini.
                   F

                                    m
      F                 F
  P                        Q
 
                                                          

 

                Dari gambar di atas diperoleh resultan dari sebuah gaya F yang bertitik tangkap F dengan sebuah kopel M sehingga resultannya berupa sebuah gaya F bertitik tangkap di Q. Titik tangkap gaya ini bergeser sejauh d. besarnya d : d = .
4.       Momen Inersia
Kecenderungan benda untuk tetap dia ataupun tetap bergerak di sebut dengan momen inersia dan ukuran kecenderungan ini dinamakan massa. Kecenderungan yang terjadi pada benda yang sedang berotasi disebut inersia rotasi dan ukuran kecenderungannya dinamakan momen inersia.
a.       Momen inersia untuk benda titik (partikel)
Sebuah benda bermassa m berputar mengelilingi sebuah sumbu yang berjarak r dari m. konsep momen inersia dituliskan dalam bentuk persamaan berikut.
I = m.r2
 


Momen inersia suatu benda dapat dianggap sebagai jumlah aljabar dari momen inersia sebuah benda yang tersusun oleh partikel-partikel dapat ditulis persamaannya sebagai berikut.

nrn2

b.      Momen inersia untuk benda tegar
Massa dalam gerak linear merupakan ukuran inersia suatu benda. Artinya, kecenderungan untuk tidak mengalami perubahan gerak. Sebuah benda tegar terdiri atas jumlah partikel yang terpisah satu sama lain, serta jaraknya tetap memiliki momen inersia yang merupakan jumlah dari momen inersia semua partikel.
Pada titik materi yang berputar terdapat hbungan antara besaran linear dan besaran sudut, anatara lain hubungan antara kecepatan linear dan kecepatan sudut.

V = . R
 


                                Jika massa titik yang berputar tersebut m, maka energy kinetic dari titik tersebut adalah :
EK = mv
EK = mr2 2
EK = m( r)2
 






Factor m.R2 tersebut dinamakan momen inersia terhadap sumbu putarnya diberi notasi I.
Secara matematis persamaannya dapat ditulis sebagai berikut.
I = mr2
 


Dengan :
I = momen inersia (kgm2)
M = massa partikel atai titk (kg)
Momen inersia benda-benda yang sumbu putarnya melalui titik pusat massa benda disebut inersia pusat massa (Ipm). Jika sumbu putar benda tidak melalui pusat massa benda, tetapi sejajar dengan sumbu yang melalui pusat massa, momen inersia sebuah benda memenuhi persamaan :
I = Ipm + md2
 
Dengan d adalaj jarak massa ke sumbu putarnya.
B.      Dinamika Gerak Rotasi
Dinamika rotasi berdasarkan pada hokum II Newton untuk gerak rotasi  atau  a  =  dengan  adalah resultan momen  gaya luar yang bekerja terdhadap poros. Untuk menghitung resultan momen gaya .

1.       Momentum dan impuls sudut
a.       Momentum didefenisikan sebagai perkalian antara massa dan kecepatan, yaitu P = M.V.  Momentum yang berhubungan  dengan gerak translasi disebut momentum linear. Momentum linear sebuah partikel merupakan. Oleh sebab itu, momentum sudut dapat ditulis persamaannya sebagai berikut.
L = rxp
 
Dengan :
P = momentum linear partikel (Ns)
R = jarak partikel ke sumbu putarnya (m)
L = momentu sudut (Nms/kgm2s-1)

Oleh karena p = m.v dan laju linear partikel v = ω.r dengan ω adalah kecepatan sudut partikel, maka secara scalar besarnya momentum sudut sebuah partikel terhadap sumbu putarnya memenuhi persamaan :
L = rp
 
Dengan p=mv=mωr sehingga diperoleh :
L = mvr = mr2ω
 
b.      Impuls sudut
Pada gerak translasi besarnya impuls yang dialami oleh sebuah benda adalah I =∆F.t yang disebut sebagai impuls linear. Pada gerak rotasi, besarnya impuls sudut dapat diturunkan dari persamaan momentum gaya sebagai berikut.

 dengan F =    dan
Untuk m dan r yang tetap persamaannya menjadi :

Besar impuls sudut dapat di tulis persamaannya sebagai berikut.

Dengan :
                = impuls sudut
      = perubahan momentum sudut
Satuan dari impuls = kgm2s-1
Oleh karena L = r.m.v maka ∆(rmv) atau (rmv) = ∆L sehingga persamaannya dapat ditulis:


2.       Hukum kekekalan momentum sudut
Hokum kekekalan momentum sudut berbunyi “ jika tidak ada resultan gaya luar yang bekerja pada system ( ), maka momentum sudut system adalah kekal (tetap besar).
Untuk resultan gaya luar sama dengan nol  ( ), maka dapat diperoleh persamaan :


3.       Beban dihubungkan dengan katrol
Bebab bermassa m du hbungkan dengan tali tidak bermassa dengan seluruh katrol yang mempunyai momen inersia I dan jari-jari R. tali ditarik dengna gaya F sehingga beban ( massa m) bergerak ke atas dengan suatu percepatan tertentu.
Persamaan gerak translasi benda massa m
Persamaan gerak rotasi dari katrol :
 =(F-T)R
Sehingga diperoleh :
Jika tengangan tali T dari gerak translasi disubtitusikan pada gerak rotasi, maka akan diperoleh :
Jika katrol berupa benda pejal dengan massa mk maka  akan menjadi :

4.       Energi Kinetik dan Hukum Kekekalan Energi
Benda yang memilki energy kinetic translasi. Juga untuk benda yang berotasi memiliki energy rotasi yang dapat diturunkan sebagai barikut :

5.       Menggelinding
Menggelinding adalah peristiwa bergeraknya sebuah benda secara translasi yang disertai dengan gerak rotasi. Benda dikatakan bergelinding murni apabila bergerak translasi da rotasi terjadi secara bersamaan.
a.       Menggelinding pada bidang horizontal
b.      Menggelinding pada bidang miring

C.      Keseimbangan Benda Tegar
1.       Syarat keseimbangan benda tegar
Sebuah benda dikatakan seimbang translasi jika ;
Sebuah benda dikatakan dalam keadaan seimbang rotasi jika :

Sehinnga sebuah benda yang memiliki keduapersyaratan keseimbangan tersebut diatas, yaitu keseimbangan translasi dan rotasi maka pada benda tersebut akan erlaku persamaan :
D.      Titik berat
Titik berat adalah titk lengkap gaya berat suatu benda
1.       Titik berat benda homogen
Letak titik berat benda homogeny yang mempunyai bentuk beraturan, seperti bola, kubus, silinder, dan bentuk benda beraturan lainnya, dapat diketahui dengan mudah
Momen gaya berat benda terhadap sumbu y ;
Dan momen gaya berat benda terhadap sumbu x adalah :

2.       Titk berat benda berongga
3.       Titik pusat massa
Titk pusat massa suatu benda tidak dipengaruhi oleh medan gravitasi, sedangkan titk beratnya dipengaruhi oleh medan gravitasi
Letak titk berat :